Quand les nombres précèdent les langues

« Les mathématiques sont une création mentale. »

Cette objection, je l'ai lue récemment sous l'un de mes textes. Elle mérite qu'on s'y arrête. Elle ouvre une question que l'humanité se pose depuis vingt-cinq siècles : les mathématiques sont-elles notre invention, ou notre découverte ?

La réponse courte : les deux. Mais cette réponse courte masque une profondeur philosophique que je voudrais explorer ici.

Ce que nous inventons, ce que nous trouvons

Commençons par accorder à cette objection ce qui lui revient. Les mathématiques, telles que nous les pratiquons, sont bien une construction humaine. Nos symboles, nos notations, nos axiomes, nos démonstrations : tout cela porte la marque de notre histoire. Les Babyloniens comptaient en base 60, les Mayas en base 20, nous en base 10. Les Grecs refusaient le zéro ; les Indiens l'ont inventé. Leibniz et Newton se disputaient la paternité du calcul infinitésimal parce que chacun l'avait formulé dans un langage différent.

Le langage mathématique est contingent. Il aurait pu être autre.

Mais ce que ce langage décrit l'aurait-il pu ?

Prenons le nombre π. Les Égyptiens l'approximaient par 256/81, soit environ 3,16. Les Babyloniens utilisaient 25/8, soit 3,125. Archimède, par une méthode d'exhaustion géniale, l'encadra entre 223/71 et 22/7, soit entre 3,1408 et 3,1429. Aujourd'hui, nous le connaissons à des milliers de milliards de décimales. Chaque civilisation a utilisé ses propres outils, ses propres symboles, ses propres méthodes. Et toutes ont convergé vers le même nombre.

Ce nombre existait avant que nous le nommions. Le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre était le même dans l'univers primitif, avant toute conscience, avant toute Terre, avant tout système solaire. Il sera le même quand notre soleil se sera éteint.

Nous avons inventé le symbole π. Ce qu'il désigne, nous l'avons découvert.

Le nombre d'or et l'argument de l'invariant

L'objection surgit parfois : et si nous avions construit un autre système mathématique ? Les résultats seraient-ils les mêmes ?

Prenons le nombre d'or, φ, cette proportion que l'on retrouve dans les spirales de certains coquillages, la disposition des graines de tournesol, certains tracés régulateurs de l'architecture classique. Un attracteur fréquent dans les processus de croissance ou d'optimisation, même si le « nombre d'or partout » reste un mythe tenace. Sa valeur, dans notre système, est (1 + √5)/2, soit environ 1,618.

Imaginons une civilisation extraterrestre qui compterait différemment. Ses symboles seraient autres. Ses axiomes, peut-être aussi. Mais si elle étudiait la croissance des spirales, la division harmonieuse d'un segment, les proportions qui maximisent certaines fonctions, elle tomberait sur le même rapport. Elle l'appellerait autrement. Elle l'écrirait autrement. Mais le rapport serait identique.

Car ce que φ désigne est une relation structurelle, la solution d'une équation qui dit : le tout est à la grande partie ce que la grande partie est à la petite. Cette relation transcende notre base numérique, nos symboles, notre culture. Elle dépend de la structure même de ce que signifie « proportion ».

Les mesures changeraient. Les relations, jamais.

C'est la distinction centrale que je voudrais proposer : entre les mathématiques comme langage (invention humaine, contingente) et les mathématiques comme structure (découverte de relations qui nous précèdent).

De Platon à Tegmark : une lignée philosophique

Cette idée a une généalogie.

Platon, dans le Timée, soutenait que le monde sensible était l'ombre imparfaite de Formes éternelles, et que ces Formes étaient, par essence, mathématiques. Le démiurge, chez Platon, façonne l'univers selon des proportions géométriques. Les cinq solides réguliers (tétraèdre, cube, octaèdre, dodécaèdre, icosaèdre) correspondent aux éléments fondamentaux. L'ordre du cosmos est un ordre mathématique.

Galilée, vingt siècles plus tard, reformule cette intuition dans une phrase devenue célèbre : « La philosophie est écrite dans cet immense livre qui se tient toujours ouvert devant nos yeux, je veux dire l'Univers, mais on ne peut le comprendre si d'abord on n'apprend à connaître la langue et les caractères dans lesquels il est écrit. Il est écrit en langue mathématique. »

Galilée affirme que l'univers est écrit en mathématiques, et que nous devons apprendre à lire.

Au XXe siècle, Eugene Wigner, prix Nobel de physique, publie un article au titre provocateur : « La déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences naturelles ». Il y observe que des structures mathématiques développées pour des raisons abstraites, sans aucune application en vue, se révèlent, parfois des siècles plus tard, décrire avec précision des phénomènes physiques. Les nombres complexes, inventés pour résoudre des équations algébriques, deviennent indispensables en mécanique quantique. La géométrie non euclidienne, jeu de l'esprit au XIXe siècle, décrit l'espace-temps courbe de la relativité générale. Les groupes de symétrie, abstractions algébriques, prédisent l'existence de particules élémentaires.

Cette coïncidence, note Wigner, frôle le mystère.

Mais peut-être y a-t-il une explication. Peut-être l'efficacité des mathématiques est-elle tout à fait raisonnable, dès lors que l'on accepte qu'elles sont une lecture des structures que le monde possède indépendamment de nous.

C'est la thèse que défend aujourd'hui le cosmologiste Max Tegmark dans son « hypothèse de l'univers mathématique » : la réalité physique est une structure mathématique. Identique à, plutôt que « décrite par » ou « modélisée par ». Notre univers serait l'une des structures mathématiques possibles, incarnée. Les autres structures existeraient aussi, en un sens platonicien, et nous habiterions celle-ci. Position extrême, sans doute. Invérifiable, sans aucun doute. Mais elle pousse jusqu'au bout une intuition que partagent, à des degrés divers, la plupart des physiciens théoriciens : les mathématiques sont le squelette du réel.

L'argument de Gödel : même nos limites sont objectives

On pourrait objecter : si les mathématiques étaient vraiment « là dehors », indépendantes de nous, nous pourrions tout démontrer, tout prouver. Or Kurt Gödel a établi en 1931 que tout système formel suffisamment puissant contient des propositions vraies mais indémontrables. La preuve que les mathématiques sont incomplètes, donc humaines, donc limitées par notre construction ?

C'est précisément l'inverse.

Gödel était lui-même un platonicien convaincu. Pour lui, ses théorèmes d'incomplétude démontraient que la vérité mathématique dépasse ce que nos systèmes formels peuvent capturer. Il existe des propositions vraies, vraies en soi, là-dehors dans le royaume platonicien, qui échappent à nos démonstrations axiomatiques. Nos limites sont les limites de nos outils pour accéder à la réalité mathématique, et cette réalité les déborde.

L'incomplétude plaide pour l'humilité épistémique : il y a plus de choses dans les mathématiques que notre formalisme peut en rêver.

Le test extraterrestre

Voici une expérience de pensée que les philosophes et les scientifiques aiment proposer.

Supposons que nous établissions un contact avec une intelligence extraterrestre. Comment communiquerions-nous ? Nos langues seraient étrangères de part en part. Nos références culturelles aussi. Nos biologies, nos sens, nos modes de pensée pourraient différer du tout au tout.

Mais si cette intelligence a développé une technologie capable de communiquer à travers l'espace, elle a forcément compris certaines choses : les lois de l'électromagnétisme, la structure des ondes, les rapports géométriques. Elle connaît, sous une forme ou une autre, ce que nous appelons π, ce que nous appelons les nombres premiers, ce que nous appelons les symétries de groupe.

Les premières tentatives de communication passeraient par là. Par des structures mathématiques, seul langage que nous partagerions par force, parce qu'il est le langage de l'univers que nous habitons tous deux.

Carl Sagan et Frank Drake l'avaient compris en concevant les messages embarqués sur les sondes Pioneer et Voyager. Le langage utilisé pour indiquer notre position dans la galaxie est la géométrie des pulsars, les rapports de fréquence de l'hydrogène, le code binaire. Les mathématiques comme espéranto cosmique.

Si les mathématiques étaient une simple invention humaine, cette communication échouerait. L'espéranto terrestre, lui, resterait lettre morte face à une intelligence extraterrestre, parce qu'il est une convention arbitraire. Les mathématiques fonctionneraient parce qu'elles sont ce que toute intelligence découvre forcément en explorant la structure du réel.

Retour au poème

Dans mon recueil Ce que l'Univers murmure, j'écrivais sur la symétrie :

« Les nombres qui façonnent le cristal des flocons... »

Un lecteur pourrait y voir une métaphore poétique. C'en est une qui pointe vers une réalité littérale.

Un flocon de neige possède une symétrie hexagonale. Les molécules d'eau, en gelant, s'organisent selon des angles déterminés par leurs liaisons hydrogène, et ces angles, combinés, produisent une structure à six branches. Toujours. La physique moléculaire engendre la géométrie. La géométrie était là, attendant que des molécules la manifestent.

Emmy Noether a démontré en 1918 que chaque symétrie correspond à une loi de conservation. L'invariance par translation dans le temps implique la conservation de l'énergie. L'invariance par translation dans l'espace implique la conservation de la quantité de mouvement. L'invariance par rotation implique la conservation du moment cinétique.

Ces correspondances sont des nécessités structurelles. Si l'univers possède ces symétries (et il les possède), alors ces lois de conservation s'appliquent. Les mathématiques sont ces relations.

Quand le poème dit que les nombres façonnent le cristal, il reconnaît que la structure mathématique précède sa manifestation physique, que le flocon incarne une possibilité géométrique qui existait avant lui, avant la Terre, avant le système solaire.

Création et découverte : la synthèse

Revenons à la question initiale. Les mathématiques sont-elles une création mentale ou une découverte ?

La réponse, je crois, est celle-ci : nous créons le langage, nous découvrons les structures.

Nos symboles sont des inventions. Nos axiomes sont des choix. Nos démonstrations sont des constructions. Tout cela est humain, historique, contingent.

Mais ce vers quoi ces symboles pointent, ce que ces axiomes capturent, ce que ces démonstrations révèlent : cela existe indépendamment de nous. Les relations entre les nombres premiers, les symétries des groupes, les propriétés des espaces, les invariants topologiques, tout cela était là avant nous et sera là après nous.

Les mathématiques sont notre carte. Le territoire qu'elles décrivent existait avant nous.

Cette distinction permet de répondre à l'objection en l'intégrant. Oui, les mathématiques sont une création mentale, au sens où notre langage mathématique est une création. Mais ce qu'elles décrivent nous précède et nous survivra.

Et cette distinction a des conséquences profondes. Si les structures mathématiques sont objectives, alors l'univers possède un ordre intrinsèque, un ordre que nous apprenons à lire. La science, alors, est une approximation progressive d'une vérité qui existe indépendamment de nous.

Le mystère qui demeure

La question reste ouverte depuis Platon, et je la laisse ouverte.

Mais je voudrais conclure sur ce qui me semble l'essentiel.

Quand nous faisons des mathématiques (vraiment, au-delà des simples calculs, dans la recherche mathématique), nous avons l'impression de découvrir plutôt que d'inventer. Les mathématiciens parlent de « voir » une structure, de « trouver » une démonstration, de « reconnaître » une propriété. Ce vocabulaire de la découverte exprime une expérience : celle de rencontrer une réalité qui résiste, qui a ses propres lois, qui refuse de céder à nos caprices.

Un romancier peut faire mourir son personnage ou le sauver : c'est son invention. Un mathématicien est tenu par ce qui est. Il peut décider comment formuler une démonstration ; la rationalité de π ou la fausseté du théorème de Fermat lui échappent tout à fait. Ce « ce qui est » existe indépendamment de lui.

Cette expérience de la résistance, de l'objectivité, est peut-être le meilleur argument en faveur du réalisme mathématique. Une évidence vécue : les mathématiques se comportent comme un monde que nous explorons.

Et si l'univers est écrit en langue mathématique, comme le disait Galilée, alors apprendre cette langue est notre façon de déchiffrer le réel, de lire le livre incréé qui se tient ouvert devant nous depuis le commencement.

Notes

L'article de Wigner, « The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences », a été publié en 1960 dans Communications in Pure and Applied Mathematics.

L'hypothèse de l'univers mathématique de Max Tegmark est développée dans son ouvrage Our Mathematical Universe (2014).

Les théorèmes d'incomplétude de Gödel ont été publiés en 1931 dans « Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme ».

La citation de Galilée provient de L'Essayeur (Il Saggiatore), 1623.

Le théorème de Noether a été présenté en 1918 devant la Société mathématique de Göttingen.

Les cartes des pulsars ont été conçues par Frank Drake et Carl Sagan, d'abord pour les plaques des sondes Pioneer 10 et 11 (1972-1973), puis reprises sur la couverture du Golden Record des sondes Voyager 1 et 2 (1977).